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Fonctionnalités de Géogebra dans Capytale⚓︎

Dans le premier numéro de #Capytale, vous avez pu apprécier l'activité Géogebra d'introduction du théorème de Pythagore, partagée par Gaëlle dans la bibliothèque.

Trois cellules du tableur étaient « alimentées », par les aires de carrés manipulables depuis l'espace graphique où ils avaient été construits, et une dernière cellule calculait la somme de 2 des premières.
Cette possibilité provient de l'interconnexion entre tous les outils proposés par Géogebra.

L'objectif de cette présentation

Illustrer d'autres interconnexions, en construisant trois activités Capytale qui formeront autant de pistes pédagogiques.

Il s'agit plus de preuves de concept, que d'activités à destination immédiate des élèves.

Au cas où, voici la liste des outils existants dans Géogebra :

  • Algèbre liste les objets créés et leurs caractéristiques.
  • Graphique et Graphique2 sont deux espaces de représentation plane d'objets.
  • Graphique 3D est un espace de représentation avec une 3e dimension et différents types de projection.
  • Calcul formel utilise le moteur Giac de Bernard Parisse de l'Université de Grenoble.
  • Tableur
  • Calcul de probabilité et statistique.

Une activité Géogebra dans Capytale⚓︎

Capytale gère la préparation, la diffusion, les productions des élèves et leur évaluation de la même façon pour tous les types d'activité.

Processus de gestion d'une activité avec Capytale

Qu'elle soit Géogebra ou autre, dans votre espace personnel :

  • Dans la zone Créer une nouvelle activité de votre interface, choisir le type de l'activité, ici Géogebra logo geogebra,
  • Nommer votre activité : « Dessine moi … » et enregistrer.
  • Configurer l'état dans lequel l'élève trouvera l'activité.
  • Rédiger les consignes et activer les notes partagées lorsque les élèves doivent y écrire des réponses.
  • Distribuer aux élèves, via leur compte dans l'ENT, via un lien, un QR code ou un code alphanumérique.
  • L'accès aux copies numériques des élèves s'effectue ensuite en cliquant sur leur quantité dans votre interface.
  • Voici en vidéo, un résumé d'une minute.
  • Vous pouvez retrouver toutes les explications dans cet ancien numéro

Même s'ils illustrent la même idée, les 3 « actes » qui suivent sont indépendants.
Pour chacun, nous détaillons dans 4 onglets

  • la configuration initiale de l'activité,
  • les consignes destinées aux élèves,
  • la préparation de la zone des notes partagées et
  • nous vous permettons de tester les consignes dans Geogebra.
  • Finalement, nous commentons le résultat obtenu.

Acte 1 : Fonction affine aléatoire⚓︎

Prérequis élève : nous avons imaginé que les élèves ont déjà copier-coller ou étendu une formule de tableur et connaissent l'adjectif affine.

  • Il suffirait d'adapter les consignes pour se passer de ces prérequis.

Objectif élève de collège :

  • Fabriquer une table de valeurs par copie de formule dans un tableur.
  • Conjecturer que les fonctions affines sont toutes représentées par des droites.

Dessine-moi une fonction logo geogebra

Affichons les fenêtres Algèbre, Géométrie et Tableur,
activons les notes partagées
et préparons les entêtes d'un tableau.

config1

Passons aux consignes à destination des élèves dans l"onglet suivant.

Préalable :
Pour augmenter la taille de l'espace de travail, cliquez sur l'icône (Plein écran)

Travail :
Dans la zone de saisie de la fenêtre Algèbre (à gauche), écrivez :

  • pas = 0.5, puis validez en appuyant sur la touche Entrée.
  • m = AléaEntreBornes(-3,3) puis validez.
  • p = AléaEntreBornes(-5,5) puis validez.

Dans le Tableur :

En cellule écrivez puis validez
A2 = -2
A3 = A2 + pas
B2 = m * A2 + p
  • Étendez la formule en A3 à la plage A3:A10.
  • Étendez la formule en B2 à la plage B2:B10.
  • Sélectionnez la plage A2:B10. Faites un clic droit sur la zone sélectionnée et dans le menu qui apparaît, cliquez sur l'outil + Créer ⏵ Liste de points

Rendez-vous maintenant dans la zone de Notes partagées pour répondre aux questions posées.

Complétez les pointillés (…) des phrases ci-dessous avec les mots qui conviennent :

  1. Je viens de fabriquer un tableau de … d'une fonction … \(f\).
  2. Je constate que tous les points créés sont …
  3. L'écriture du calcul donnant l' … de \(x\) par \(f\) est \(f(x)=…\)
  4. Lorsque je modifie la valeur de pas en 0.1, les valeurs de \(x\) … , leurs … par \(f\) sont mises à jour, mais les points restent …
  5. Sélectionnez une cellule vide du tableur en cliquant dessus.

  6. Lorsque j'appuie sur la touche F9,

    • à gauche dans la fenêtre Algèbre, les valeurs de m et de p sont …
    • à droite dans le tableur, les … par la fonction \(f\) sont toutes recalculées.
    • au milieu dans le graphique, les points changent, mais restent …

  7. Après plusieurs appuis sur la touche F9, je constate que mes remarques précédentes sont … vraies.

  8. Si certaines situations vous paraissent avoir des caractéristiques particulières, décrivez-les ci-dessous :

N'oubliez pas d'enregistrer votre travail avant de fermer cette page.

Bilan pédagogique

  • Par rapport à la même activité Géogebra, Capytale apporte :
    • la zone de consignes intégrée à l'interface,
    • la zone de Notes partagées où chaque élève peut utiliser un traitement de texte,
    • la gestion des copies de nos élèves intégralement au sein de notre ENT.
  • Les variables de Géogebra permettent de ne pas recourir à l'adressage absolu.
    • Cela simplifie la formule à recopier dans le tableur.
    • Pour introduire les adresses absolues, on peut imaginer reprendre cette même activité avec Capytab (bientôt) ou un tableur bureautique (Calc de LibreOffice par exemple) en plaçant des valeurs données pour le pas, m et p dans 3 cellules, afin que les élèves comprennent la nécessité et l'intérêt des « $ » dans les adresses, lors de la copie de formule.
  • Dans la fenêtre Algèbre, l'autocomplétion simplifie la saisie de AléaEntreBornes.
    Par défaut l'autocomplétion n'est pas active dans le tableur, mais cela peut être modifié dans les options du tableur.
  • Préremplir la zone de Notes partagées avec du texte à trous, permet aux élèves de se concentrer sur la réponse à apporter, tout en ayant une phrase finale correcte.
    • La difficulté est alors de ne pas laisser trop de possibilités, sans induire immédiatement la réponse.
      On peut également imaginer fournir plusieurs propositions.
    • Lorsque les élèves sont habitués à cette zone, on peut poser les questions côté consignes et demander la réponse côté Notes partagées.
      Dans ce cas, on peut préparer la numérotation correspondante, avec ou sans texte à trous en exemple de rédaction.

Acte 2 : Fonction affine et calcul littéral⚓︎

Prérequis élève :

  • Connaître la notion de fonction affine et savoir qu'elles sont représentées par une droite
  • Avoir déjà utilisé la double distributivité avec des nombres (\(1020\times 802= 1000\times800+ 1000\times2+ 20\times800+ 20\times2\))

Objectif élève de collège :

  • Avancer dans la compréhension du parenthésage, dans la nécessité de l'utiliser ou pas.
  • Introduire la distributivité avec une variable. Ici la double, mais l'activité peut être adaptée très facilement à la simple \(a x + b x\) ou \(a(bx+c)\) ou \((ax+b)cx\).
  • Renforcer la notion de fonction affine. Cela peut être supprimer en désactivant le graphique Géogebra.
  • Obtenir un exemple de fonction non affine (pour le produit, le dessin peut être demandé à postériori).

Entre parenthèses logo geogebra

Nous affichons les fenêtres Algèbre, Géométrie et Tableur.

Dans la fenêtre Algèbre, nous préparons 4 variables
a = AléaEntreBornes(-3, 3), d = AléaEntreBornes(-5, 5), a = AléaEntreBornes(-3, 3) et d = AléaEntreBornes(-5, 5).

Dans le tableur, nous créons les textes
Somme en C1, Différence en C4 et Produit en C7 (Quotient pourra être ajouté en C10).

config2

Nous passons aux consignes à destination des élèves dans l'onglet suivant.

Préparation

  • Dans la zone de saisie de la fenêtre Algèbre à gauche, écrivez A1(x)=a*x+b puis validez en appuyant sur la touche Entrée.
  • Créez de même A2(x)=c*x+d.
  • Imaginez ce que l'appui sur la touche F9 qui commande le recalcul de toutes les données va réaliser et vérifiez.
    S'il ne se passe rien lors de l'appui sur la touche F9, sélectionnez une cellule vide en cliquant dessus et recommencez.
  • Dans la cellule C2, saisissez =A1+A2 et validez.
  • Dans la cellule C5, saisissez =A1-A2 et validez.

Premières constatations

  • Regardez attentivement ce qui se passe dans les cellules C2 et C5 lorsque vous appuyez sur la touche F9.
  • Rendez vous dans la zone de Notes partagées et répondez aux questions 1.

Deuxièmes constatations

  • Dans la cellule C3, saisissez =Simplifier(C2)
  • Faites en sorte que la cellule C6 contienne la simplification de la différence.
  • Regardez attentivement ce qui se passe dans les cellules C3 et C6 lorsque vous appuyez sur la touche F9.
  • Recommencez autant de fois que nécessaire pour répondre aux questions 2 dans la zone de Notes partagées.

Troisièmes constatations

  • Dans la cellule C8, saisissez =A1*A2 et validez.
  • Faites en sorte que la cellule C9 contienne la simplification du produit.
  • Regardez attentivement ce qui se passe dans les cellules C8 et C9 lorsque vous appuyez sur la touche F9.
  • Recommencez autant de fois que nécessaire pour répondre aux questions 3 dans la zone de Notes partagées.

Premières constatations

1. a. Pour la somme, le logiciel utilise-t-il des parenthèses ? Expliquez pourquoi et comment.
Pour la somme, le logiciel …

1. b. Pour la différence, le logiciel utilise-t-il des parenthèses ? Expliquez pourquoi.
Pour la différence, le logiciel …

Retournez lire la suite des consignes.

Deuxièmes constatations

2. a. Comment le logiciel simplifie-t-il le calcul de la somme ? Quelles règles de calcul utilise-t-il ?
Pour la somme, le logiciel …

2. b. Comment le logiciel simplifie-t-il le calcul de la différence ? Quelles règles de calcul utilise-t-il ?
Pour la différence, le logiciel …

Retournez lire la suite des consignes.

Troisièmes constatations

3. a. Pour le produit, le logiciel utilise-t-il des parenthèses ? Expliquez pourquoi.
Pour le produit, le logiciel …

3. b. Comment le logiciel simplifie-t-il le calcul du produit ? Quelles règles de calcul utilise-t-il ?
Pour simplifier le produit, le logiciel …

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Bilan

  • Avec les logiciels de représentation graphique, les enseignants de mathématiques ont l'habitude d'utiliser des curseurs pour manipuler les coefficients des polynômes de degré un, deux ou trois et de permettre aux élèves, de repérer le rôle de chacun (pente, image de zéro, antécédent de 0…).
    • Utiliser des coefficients aléatoires au lieu de curseurs rend ces liens moins visibles.
    • Cela devient un avantage, quand comme ici, ce sont les règles de calcul qui sont visées.
  • L'aléatoire permet de rester concentrer sur le mécanisme calculatoire.
  • Utiliser l'instruction Simplifier au lieu de Développer n'est pas neutre.
    • Avec simplifier, l'écriture est généralement développée, mais parfois elle est factorisée.
    • Que l'écriture simplifiée ne soit pas toujours la forme développée est pédagogiquement intéressant.
      Une écriture n'est simple qu'en fonction de l'action future où elle sera utilisée. Ce que le logiciel ne peut pas savoir.
    • Vous pouvez choisir Développer.
      Discutez avec les élèves des différentes formes possibles, établir que simplifier et développer n'ont pas la même signification dès l'introduction du développement d'une écriture littérale peut les aider à avoir une représentation mentale correcte.

Acte 3 : Introduction des fonctions dérivées⚓︎

Nous allons utiliser le calcul formel de Géogebra dans son tableur.

Prérequis élève de première technologique :

  • Connaître la notion de nombre dérivé d'une fonction.

Objectif élève :

  • Découvrir la formule de dérivation d'un polynôme du second degré au programme.

Formules à la dérive logo geogebra

Nous affichons les fenêtres Algèbre et Tableur où nous préparons les entêtes d'un tableau, ainsi que la formule =AléaEntreBornes(-5,5) en A2.

config3

Nous passons aux consignes à destination des élèves dans l'onglet suivant.

Préalable

Si ce n'est pas le cas, passez en disposition verticale avec l'icône Paramètres à droite du bandeau noir,
passez en plein écran et prenez presque la moitié de votre écran pour l'affichage des consignes.

Préparation

  • Écrivez dans la cellule D2 la valeur du coefficient directeur de la droite d'équation \(y=1\).
  • Écrivez dans la cellule D3 la valeur du coefficient directeur de la droite d'équation \(y=x\).
  • Écrivez dans la zone de saisie B2(x)=1 , puis validez en appuyant sur la touche Entrée.
  • Écrivez dans la zone de saisie C2(x)=Dérivée(B2) puis validez.
  • Vous constatez que Géogebra sait que la fonction constamment égale à 1 admet un nombre dérivé nul quel que soit le point de la courbe (ici une droite de coefficient directeur 0).

Premiers résultats

  • Écrivez dans la zone de saisie B3(x)=Développer(x*B2) puis validez.
  • Recopiez vers le bas la cellule C2.
  • Géogebra sait que la fonction \(x\mapsto x\) admet un nombre dérivé égal à 1 quel que soit le point de sa courbe représentative (une droite de coefficient directeur 1) .
  • Sélectionnez les cellules B3 et C3, puis recopiez les vers le bas jusqu'à la ligne 9.
  • Écrivez en D10 et E10 le contenu probable des cellules B10 et C10 si on étend la recopie à la ligne 10, puis vérifiez.
    Le programme officiel de première ne nous demande pas d'en savoir autant.

Seconde préparation

Découvrons ce que nous devons savoir. Pour cela :

  • Effacez la plage de cellules dont la diagonale est B5:C10.
    Si vous n'y arrivez pas, utilisez l'outil Propriétés et décochez Objet fixe.
  • La cellule A2 contient la formule = AléaEntreBornes(-5, 5). Recopiez là vers le bas jusqu'en A4.
  • Avec ces 3 nombres aléatoires et les fonctions \(x \mapsto 1\), \(x\mapsto x\) et \(x\mapsto x^2\) , vous allez fabriquer en B5 une fonction aléatoire qui sera :
    • la somme des produits de ces 3 fonctions par les coefficients aléatoires que nous venons de construire.
    • Pour cela, écrivez dans la zone de saisie B5(x)=A2*B2+A3*B3+A4*B4 puis validez.
    • Puis nous demandons à Géogebra de simplifier l'écriture du résultat. Pour cela, écrivez dans la zone de saisie B6(x)=simplifier(B5(x)) puis validez
  • Copiez la cellule C4 en C5 et en C6, pour obtenir la dérivée de cette fonction.

Découverte

  • Rendez vous dans les Notes partagées pour découvrir un nouveau résultat.
  • Testez la touche F9 qui permet de lancer le recalcul de tous les éléments de Géogebra.
    Si les valeurs aléatoires ne se sont pas actualisées, cliquez sur une cellule vide du tableur et recommencez.

Voici un tableau contenant un premier résultat.

f(x) f'(x)
\(4 - x+ 3 x^2\) \(6x - 1\)

  • Recommencez

    • Recopiez le contenu des cellules B5 et C5 dans le tableau précédent.
      Vous pouvez insérer une ligne dans le tableau en cliquant sur une cellule, puis sur la flèche qui apparaît.
    • recalculez la feuille,
    • jusqu'à ce que vous trouviez comment compléter la phrase ci-dessous :

La fonction \(x \mapsto a x^2 +b x + c\) admet pour fonction dérivée \(x\mapsto …\)

  • Vérifiez encore une ou deux fois que votre phrase est correcte et complétez à chaque fois le tableau avec ces nouveaux exemples.
  • Recopiez cette phrase complète dans votre cahier.
  • Enregistrez votre travail et fermez cette page.

Bilan

Pédagogique

  • Les élèves de série technologiques sont habitués à l'usage du tableur.
    Ils y sont souvent plus à l'aise qu'en mathématiques.
  • La recopie de la formule =Développer(x*B2) qui crée la liste \(1\), \(x\), \(x^2\), \(x^3\), … permet à l'élève de donner plus de sens à la notation des exposants.
  • Certains élèves écriront \(a \times 2x +b\), d'autres \(2\times ax+b\) ou \(2a \times x +b\). Peu importe, c'est devenu leur formule, celle qu'ils ont trouvée.

Remarques

  • Le calcul formel est accessible dans Géogebra sans passer par l'interface dédiée, juste en utilisant les noms français des fonctions correspondantes.
  • L'autocomplétion est précieuse pour éviter les erreurs de syntaxe lors de la saisie par les élèves, mais nous avons choisi d'écrire AléaEntreBornes lors de la préparation, pour éviter une erreur qui ne serait due qu'à l'oubli de l'accent.

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